洛伦兹变换的张量

洛伦兹变换里的张量计算洛伦兹变换中的张量计算是狭义相对论的核心数学工具，用于描述时空坐标、物理定律在不同惯性参考系之间的变换关系。以下是关键概念的逐步解释：

1. 洛伦兹变换的基本形式

洛伦兹变换联系了两个惯性参考系 \( S \) 和 \( S’ \)（\( S’ \) 以速度 \( v \) 沿 \( x \) 方向相对 \( S \) 运动）的时空坐标： \[ \begin{cases} ct’ = \gamma \left( ct - \beta x \right) \ x’ = \gamma \left( x - \beta ct \right) \ y’ = y \ z’ = z \end{cases} \] 其中：

\( \beta = v/c \)，\( \gamma = (1-\beta^2)^{-1/2} \)（洛伦兹因子）。
时间分量写为 \( ct \) 以保证量纲一致。

2. 用张量表示洛伦兹变换

洛伦兹变换可表示为线性变换： \[ x’^\mu = \Lambda^\mu_{\ \nu} x^\nu \] 其中：

\( x^\mu = (ct, x, y, z) \) 是四维时空坐标（逆变矢量）。
\( \Lambda^\mu_{\ \nu} \) 是洛伦兹变换矩阵，具体形式为： \[ \Lambda^\mu_{\ \nu} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma \beta & 0 & 0 \\ -\gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

3. 张量的定义与分类

四维矢量：如坐标 \( x^\mu \)、四维速度 \( u^\mu = \gamma(c, \mathbf{v}) \)。
二阶张量：如电磁场张量 \( F^{\mu\nu} \)、能量-动量张量 \( T^{\mu\nu} \)。
- 变换规则：\( T’^{\mu\nu} = \Lambda^\mu_{\ \alpha} \Lambda^\nu_{\ \beta} T^{\alpha\beta} \)。

4. 关键张量运算

（1）标量积（不变量）

四维矢量的标量积在洛伦兹变换下不变： \[ x^\mu x_\mu = (ct)^2 - x^2 - y^2 - z^2 \] 其中 \( x_\mu = \eta_{\mu\nu} x^\nu \) 是协变矢量，\( \eta_{\mu\nu} = \text{diag}(1, -1, -1, -1) \) 是闵可夫斯基度规。

（2）电磁场张量示例

电磁场张量 \( F^{\mu\nu} \) 定义为： \[ F^{\mu\nu} = \begin{bmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{bmatrix} \] 其变换规则为 \( F’^{\mu\nu} = \Lambda^\mu_{\ \alpha} \Lambda^\nu_{\ \beta} F^{\alpha\beta} \)，可导出电场和磁场的相对论变换关系。

5. 常见计算示例

问题：计算四维动量 \( p^\mu = (E/c, \mathbf{p}) \) 的标量积。

解： \[ p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu} p^\mu p^\nu = \left(\frac{E}{c}\right)^2 - \mathbf{p}^2 = m^2 c^2 \] （因为 \( E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4 \)）

6. 张量计算的意义

协变性：物理定律的数学形式在洛伦兹变换下保持不变。
不变量：如时空间隔、静止质量等，是相对论中的绝对量。

总结

洛伦兹变换的张量语言将时空坐标、物理量统一为几何对象（矢量/张量），其计算核心是：

明确张量的阶数（矢量、二阶张量等）。
应用洛伦兹变换矩阵 \( \Lambda^\mu_{\ \nu} \) 或度规 \( \eta_{\mu\nu} \)。
利用爱因斯坦求和约定简化表达式。

通过张量计算，可以高效地推导相对论效应（如时间膨胀、长度收缩）并验证物理定律的协变性。

验证\( F’^{\mu\nu} = \Lambda^\mu_{\ \alpha} \Lambda^\nu_{\ \beta} F^{\alpha\beta} \) 要验证电磁场张量 \( F^{\mu\nu} \) 的洛伦兹变换关系 \( F’^{\mu\nu} = \Lambda^\mu_{\ \alpha} \Lambda^\nu_{\ \beta} F^{\alpha\beta} \)，我们逐步计算变换后的分量。以下以沿 \( x \) 方向的洛伦兹变换为例，展示具体步骤。

1. 电磁场张量的定义

电磁场张量 \( F^{\mu\nu} \) 的矩阵形式为： \[ F^{\mu\nu} = \begin{bmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{bmatrix} \]

2. 洛伦兹变换矩阵

沿 \( x \) 方向的洛伦兹变换矩阵 \( \Lambda^\mu_{\ \nu} \) 为： \[ \Lambda^\mu_{\ \nu} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma \beta & 0 & 0 \\ -\gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \Lambda_\mu^{\ \nu} = \begin{pmatrix} \gamma & \gamma \beta & 0 & 0 \\ \gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] 其中 \( \beta = v/c \)，\( \gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2} \)。

3. 变换规则展开

变换公式为： \[ F’^{\mu\nu} = \Lambda^\mu_{\ \alpha} \Lambda^\nu_{\ \beta} F^{\alpha\beta} \] 对每个分量 \( (\mu, \nu) \)，需对 \( \alpha, \beta \) 求和（爱因斯坦求和约定）。

4. 关键分量验证

我们选取几个非平凡分量验证变换的正确性。

（1）电场 \( x \) 分量的变换（\( F’^{01} \)）

原始分量 \( F^{01} = -E_x/c \)。计算 \( F’^{01} \)： \[ F’^{01} = \Lambda^0_{\ \alpha} \Lambda^1_{\ \beta} F^{\alpha\beta} \] 展开求和： \[ F’^{01} = \Lambda^0_{\ 0} \Lambda^1_{\ 1} F^{01} + \Lambda^0_{\ 1} \Lambda^1_{\ 0} F^{10} + \text{（其他项为0）} \] 代入具体值：

\( \Lambda^0_{\ 0} = \gamma \), \( \Lambda^1_{\ 1} = \gamma \), \( F^{01} = -E_x/c \)
\( \Lambda^0_{\ 1} = -\gamma \beta \), \( \Lambda^1_{\ 0} = -\gamma \beta \), \( F^{10} = E_x/c \)

因此： \[ F’^{01} = \gamma \cdot \gamma \cdot \left(-\frac{E_x}{c}\right) + (-\gamma \beta) \cdot (-\gamma \beta) \cdot \frac{E_x}{c} = -\gamma^2 \frac{E_x}{c} (1 - \beta^2) = -\frac{E_x}{c} \] 结果与预期一致（\( E’_x = E_x \)）。

（2）电场 \( y \) 分量的变换（\( F’^{02} \)）

原始分量 \( F^{02} = -E_y/c \)。计算 \( F’^{02} \)： \[ F’^{02} = \Lambda^0_{\ \alpha} \Lambda^2_{\ \beta} F^{\alpha\beta} \] 非零项： \[ F’^{02} = \Lambda^0_{\ 0} \Lambda^2_{\ 2} F^{02} + \Lambda^0_{\ 1} \Lambda^2_{\ 2} F^{12} \] 代入值：

\( \Lambda^0_{\ 0} = \gamma \), \( \Lambda^2_{\ 2} = 1 \), \( F^{02} = -E_y/c \)
\( \Lambda^0_{\ 1} = -\gamma \beta \), \( F^{12} = -B_z \)

因此： \[ F’^{02} = \gamma \cdot 1 \cdot \left(-\frac{E_y}{c}\right) + (-\gamma \beta) \cdot 1 \cdot (-B_z) = -\gamma \frac{E_y}{c} + \gamma \beta B_z \] 对应 \( F’^{02} = -E’_y/c \)，故： \[ E’_y = \gamma (E_y - v B_z) \] 与经典电磁场变换公式一致。

（3）磁场 \( z \) 分量的变换（\( F’^{12} \)）

原始分量 \( F^{12} = -B_z \)。计算 \( F’^{12} \)： \[ F’^{12} = \Lambda^1_{\ \alpha} \Lambda^2_{\ \beta} F^{\alpha\beta} \] 非零项： \[ F’^{12} = \Lambda^1_{\ 0} \Lambda^2_{\ 2} F^{02} + \Lambda^1_{\ 1} \Lambda^2_{\ 2} F^{12} \] 代入值：

\( \Lambda^1_{\ 0} = -\gamma \beta \), \( \Lambda^2_{\ 2} = 1 \), \( F^{02} = -E_y/c \)
\( \Lambda^1_{\ 1} = \gamma \), \( F^{12} = -B_z \)

因此： \[ F’^{12} = (-\gamma \beta) \cdot 1 \cdot \left(-\frac{E_y}{c}\right) + \gamma \cdot 1 \cdot (-B_z) = \gamma \beta \frac{E_y}{c} - \gamma B_z \] 对应 \( F’^{12} = -B’_z \)，故： \[ B’_z = \gamma \left(B_z - \frac{v}{c^2} E_y \right) \] 与经典结果一致。

5. 总结验证

通过上述计算，我们验证了：

电场分量：
- \( E’_x = E_x \)（平行于运动方向的分量不变）。
- \( E’_y = \gamma (E_y - v B_z) \)（垂直分量的混合变换）。
磁场分量：
- \( B’_z = \gamma \left(B_z - \frac{v}{c^2} E_y \right) \)（磁场与电场的耦合）。

所有结果均与电磁场的洛伦兹变换公式一致，因此： \[ F’^{\mu\nu} = \Lambda^\mu_{\ \alpha} \Lambda^\nu_{\ \beta} F^{\alpha\beta} \] 得证。

6. 物理意义

电场和磁场并非独立的物理量，它们的变换依赖于参考系的速度 \( v \)。
张量形式统一了电磁场的变换，揭示了电磁场的相对论性本质。

写出洛伦兹张量计算中所有的定义常量在洛伦兹变换和张量计算中，涉及多个关键定义常量和符号约定。以下是完整的整理：

3. 度规张量（闵可夫斯基度规）

符号	定义	矩阵形式	作用
\( \eta_{\mu\nu} \)	闵可夫斯基度规	\[ \eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \]	定义时空的几何结构，用于升降指标和计算标量积。
\( \eta^{\mu\nu} \)	逆变度规	与 \( \eta_{\mu\nu} \) 相同	满足 \( \eta^{\mu\alpha} \eta_{\alpha\nu} = \delta^\mu_\nu \)。

4. 电磁场张量归一化

电磁场张量 \( F^{\mu\nu} \) 的定义中隐含以下常量：

符号	作用	出现位置
\( c \)	电场分量的归一化	\( F^{0i} = -E_i / c \)
\( \mu_0 \) 或 \( \epsilon_0 \)	电磁场单位统一	能量-动量张量 \( T^{\mu\nu} \) 的构建中

5. 四维矢量与张量的通用定义

符号	定义	例子
\( x^\mu \)	四维时空坐标	\( (ct, x, y, z) \)
\( \partial_\mu \)	四维导数	\( \partial_\mu = (\frac{1}{c}\partial_t, \nabla) \)
\( p^\mu \)	四维动量	\( (E/c, \mathbf{p}) \)
\( j^\mu \)	四维电流密度	\( (c\rho, \mathbf{J}) \)

6. 常用不变量

表达式	物理意义	值
\( x^\mu x_\mu \)	时空间隔	\( c^2 t^2 - \mathbf{x}^2 \)
\( p^\mu p_\mu \)	静止质量关系	\( m^2 c^2 \)
\( F^{\mu\nu} F_{\mu\nu} \)	电磁场不变量	\( 2(B^2 - E^2/c^2) \)

7. 数值示例

电子静止质量：\( m_e c^2 \approx 0.511 , \text{MeV} \)
质子静止质量：\( m_p c^2 \approx 938 , \text{MeV} \)
典型相对论速度：\( \beta \approx 0.99 \) 时，\( \gamma \approx 7.09 \)。

总结

洛伦兹张量计算的核心常量包括：

基本物理常数（\( c, \epsilon_0, \mu_0 \)）
变换参数（\( \beta, \gamma \)）
度规张量 \( \eta_{\mu\nu} \)
四维量和张量的定义规则。

这些定义确保了相对论协变性，并广泛应用于电磁学、粒子物理和引力理论中。

在洛伦兹张量计算中，上标与下标的转换以及带撇（’）的张量常数的规则是理解相对论协变性的关键。以下是系统总结：

1. 上标（逆变）与下标（协变）的转换

度规张量的作用

闵可夫斯基度规 \( \eta_{\mu\nu} \) 和其逆 \( \eta^{\mu\nu} \) 用于升降指标：

降指标（逆变 → 协变）：
\[ x_\mu = \eta_{\mu\nu} x^\nu \quad \Rightarrow \quad (x_0, x_1, x_2, x_3) = (ct, -x, -y, -z) \]
升指标（协变 → 逆变）：
\[ x^\mu = \eta^{\mu\nu} x_\nu \quad \Rightarrow \quad (x^0, x^1, x^2, x^3) = (ct, x, y, z) \]

电磁场张量的例子

逆变形式 \( F^{\mu\nu} \)（定义见前文）。
协变形式通过降指标得到：
\[ F_{\mu\nu} = \eta_{\mu\alpha} \eta_{\nu\beta} F^{\alpha\beta} = \begin{pmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix} \] 注：电场分量符号反转，磁场分量保持不变。

2. 带撇（’）的张量常数

带撇符号表示在另一参考系 \( S’ \) 中定义的量，其变换规则如下：

(1) 坐标与矢量

坐标变换：
\[ x’^\mu = \Lambda^\mu_{\ \nu} x^\nu \]
四维矢量（如速度 \( u^\mu \)）：
\[ u’^\mu = \Lambda^\mu_{\ \nu} u^\nu \]

(2) 二阶张量（如电磁场张量）

逆变形式：
\[ F’^{\mu\nu} = \Lambda^\mu_{\ \alpha} \Lambda^\nu_{\ \beta} F^{\alpha\beta} \]
协变形式：
\[ F’_{\mu\nu} = \Lambda_\mu^{\alpha} \Lambda_\nu^{\beta} F_{\alpha\beta} \] 关键点：协变形式的变换使用 \( \Lambda_\mu^{\ \alpha} = \eta_{\mu\rho} \eta^{\alpha\sigma} \Lambda^\rho_{\ \sigma} \)。

(3) 不变量的保留

时空间隔：
\[ x’^\mu x’_\mu = x^\mu x_\mu \]
电磁场不变量：
\[ F’^{\mu\nu} F’_{\mu\nu} = F^{\mu\nu} F_{\mu\nu} = 2\left(B^2 - \frac{E^2}{c^2}\right) \]

3. 常见带撇量的具体形式

(1) 电磁场的变换

电场和磁场在 \( S’ \) 系中的分量为： \[ \begin{aligned} E’_x &= E_x, \\ E’_y &= \gamma(E_y - v B_z), \\ E’_z &= \gamma(E_z + v B_y), \\ B’_x &= B_x, \\ B’_y &= \gamma\left(B_y + \frac{v}{c^2} E_z\right), \\ B’_z &= \gamma\left(B_z - \frac{v}{c^2} E_y\right). \end{aligned} \]

(2) 能量-动量张量 \( T^{\mu\nu} \)

在 \( S’ \) 系中：
\[ T’^{\mu\nu} = \Lambda^\mu_{\ \alpha} \Lambda^\nu_{\ \beta} T^{\alpha\beta} \]
例如，对理想流体：
\[ T’^{00} = \gamma^2 \left(T^{00} + \beta^2 T^{11}\right) \]

4. 关键注意事项

洛伦兹矩阵的协变形式：
\[ \Lambda_\mu^{\ \nu} = \eta_{\mu\alpha} \eta^{\nu\beta} \Lambda^\alpha_{\ \beta} \] 例如：\( \Lambda_0^{\ 0} = \gamma \)，\( \Lambda_1^{\ 0} = \gamma \beta \)。
标量的不变性：
所有参考系中的观察者均认同标量值（如 \( p^\mu p_\mu = m^2 c^2 \)）。
符号约定：
- 使用 \( (+,-,-,-) \) 度规时，协变分量需注意负号。
- 电磁场张量的定义可能差一个常数因子（如是否包含 \( \mu_0 \) 或 \( \epsilon_0 \)）。

5. 总结表格

操作/符号	定义	示例
升指标	\( x^\mu = \eta^{\mu\nu} x_\nu \)	\( x^0 = ct \)
降指标	\( x_\mu = \eta_{\mu\nu} x^\nu \)	\( x_0 = ct \)
带撇张量	\( A’^{\mu} = \Lambda^\mu_{\ \nu} A^\nu \)	\( F’^{\mu\nu} \)
协变变换	\( A’_\mu = \Lambda_\mu^{\ \nu} A_\nu \)	\( F’_{\mu\nu} \)

掌握这些规则后，可系统处理洛伦兹变换下的张量计算问题。

1. 洛伦兹变换的基本形式#

2. 用张量表示洛伦兹变换#

3. 张量的定义与分类#

4. 关键张量运算#

（1）标量积（不变量）#

（2）电磁场张量示例#

5. 常见计算示例#

问题：计算四维动量 \( p^\mu = (E/c, \mathbf{p}) \) 的标量积。#

6. 张量计算的意义#

总结#

1. 电磁场张量的定义#

2. 洛伦兹变换矩阵#

3. 变换规则展开#

4. 关键分量验证#

（1）电场 \( x \) 分量的变换（\( F’^{01} \)）#

（2）电场 \( y \) 分量的变换（\( F’^{02} \)）#

（3）磁场 \( z \) 分量的变换（\( F’^{12} \)）#

5. 总结验证#

6. 物理意义#

3. 度规张量（闵可夫斯基度规）#

4. 电磁场张量归一化#

5. 四维矢量与张量的通用定义#

6. 常用不变量#

7. 数值示例#

总结#

1. 上标（逆变）与下标（协变）的转换#

度规张量的作用#

电磁场张量的例子#

2. 带撇（’）的张量常数#

(1) 坐标与矢量#

(2) 二阶张量（如电磁场张量）#

(3) 不变量的保留#

3. 常见带撇量的具体形式#

(1) 电磁场的变换#

(2) 能量-动量张量 \( T^{\mu\nu} \)#

4. 关键注意事项#

5. 总结表格#