参考： 推迟势数学推理总结 假设一个光源，以匀速\(v\)沿着\(\hat{x}\)轴运动， 在空间一个观察点，相对于静止坐标系坐标\((x,y,z)\) 也就是此时静止坐标系内，\(A\)点在\(\hat{x}\),\(\hat{y}\)轴的的比例关系为\(x/y\) 光源在\(t_0\)时刻发射一个光子，观察点\(A\)在时间\(t\)时收到这个光子， 假设观察点\(A\)在**\(x\)轴**上，那么\(A\)收到光子时的观察点到光源的距离\(x’\)为： \(x’=x-vt\)， 光走的时间距离为： \(x-vt’=c(t-t’)\) 图例如下： 假设观察点\(A\)在**\(y\)**轴上，那么\(A\)收到光源发射的光子的时候， 光子相对于静止坐标系走了距离\(y\)的时候，则在\(y’\)中实际走的距离为： \(y’=y/\gamma\), 此时光源发射光子，必须是斜向发射，以角度\(v/c\)的方向发射，才能始终保证光子在光源的\(\hat{y}\)轴上滑动 图例如下： 所以，在静止坐标系里的坐标\(ct=(x,y,z)\)，运动坐标系里就变成了： \(ct’=(x-vt,y/\gamma,z/\gamma)\) 这就是推迟势从\(R(ct,x,y,z)\)到\(R’(ct’,x-vt,y/\gamma,z/\gamma)\)的由来, 也就是在运动坐标系内，在同一个\(t’\)内，\(\hat{x}\), \(\hat{y}\)轴的比例关系变成了\((x-vt)/(y/\gamma)\) 那么，怎么从这点推导出洛伦兹变换？ 在狭义相对论中,有形式： \((ct)^2 =x^2+y^2+z^2\), \((ct’)^2 =x’^2+y’^2+z’^2\), 在光源沿着x轴运动时，两个坐标的y,z值是不变的， 这就需要\(\hat{y}\)轴由\(y/\gamma\)扩大到\(y\), 则对应的\(x’\)也要扩大\(\gamma\)倍，由\(x-vt\)扩大到\(\gamma(x-vt)\)，同时时间也要扩大\(\gamma\)倍，此时\(R’\)变成了： \(R’(ct’, \gamma(x-vt), y, z)\)， 也就是计算的时候，认为发射的光子的位置，不是接收到光子时光源的真实位置\(x’=x-vt\)，而是\(x’=\gamma(x-vt)\)，这个并非真实观察者的结果，而是为了计算转换方便，只要能保持光速不变就行。 变换的时候，由于使用的是\(\frac{dt}{dt’}=\frac{R’}{R}\)，即\(\frac{R’}{dt}=\frac{R}{dt’}=c\)，\(dt对应运动坐标系\)，所以在不同坐标系内，这种变换都是光速，即使在洛伦兹变换中运动坐标系内时间和距离同时扩大了\(\gamma\)倍。 在电磁势坐标变换中，遵循 \(R(ct,x,y,z)\)到\(R’(ct’,x-vt,y/\gamma,z/\gamma)\)的变换，对R’求梯度，则可得出y,z方向电场变大\(\gamma\)倍 在静电场\(E_0\)的坐标变换中，可以使用洛伦兹变换变成\(E’_0\)，并加上带\(\gamma\)的磁场B，则总电场E符合： \(E^2 =E’_0^2+(cB)^2=E’_0^2(cos^2(\theta)+\gamma^2sin^2(\theta))\) ========================================= 通过对比发现，推迟势和狭义相对论在移动坐标系中的光线路径是相同的， 推迟势的路径公式为\(R’=\sqrt{(x-vt)^2+(y^2+z^2)/\gamma^2}\) 狭义相对论的路径公式为\(R’=\sqrt{\gamma^2(x-vt)^2+y^2+z^2}\) 它们的斜率是相同的，一个是\((y/\gamma)/(x-vt)\), 一个是\(y/(\gamma(x-vt)\) 只是它们采用的观察模式不同， 推迟势观察的是相同的x的情况，狭义相对论观察采用的是使用相同的y 如下图： 推迟势的计算认为，电磁波在x方向上密度没有变化，在y方向上有挤压，也就是在不同坐标系，相同x的时候的密度情况(图中\(\triangle Ox-ct\)和\(\triangle O’xp\)）。 狭义相对论则认为，坐标变换，在y方向上没有变化，在x方向上才有变化，计算的是相同的y情况下的变换(图中\(\triangle Ox-ct\)和\(\triangle O’x’-ct’\)），如果在相同的y的位置测量，则可能测到移动电荷的电场只在x方向增强，y方向相同，磁场也小了\(\gamma\)倍。 类似下图， 圆球内的小椭圆，x方向没变，y方向压缩 圆球外的大椭圆，y方向没变，x方向变大 所以最终导致了两者的不同，导致了电磁场变换和狭义相对论变换的不同。

参考： 狭义相对论的特殊情况-快子 我们假设快子的振动形成了电磁波，那么快子的波动方程是什么，波函数是什么，怎么用来描述量子纠缠？ 快子作为电磁波源的理论构建 一、快子波动方程的推导 基本假设： 快子速度 \( v > c \)，静质量为虚数 \( m = i\mu \) 快子场 \( \phi(x,t) \) 满足类空Klein-Gordon方程： \[ (\Box - \frac{\mu^2c^2}{\hbar^2})\phi = 0 \quad \text{其中} \quad \Box = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \] 推导过程： 从相对论能量关系出发： \[ E^2 = p^2c^2 - \mu^2c^4 \] 量子化替换 \( E \to i\hbar\partial_t \)，\( p \to -i\hbar\nabla \)： \[ (-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial t^2}) = (-\hbar^2c^2\nabla^2) - \mu^2c^4 \] 整理得到快子场方程： \[ (\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 + \frac{\mu^2c^2}{\hbar^2})\phi = 0 \] 二、快子波函数的形式 平面波解： \[ \phi(x,t) = A e^{i(kx - \omega t)} \] 其中色散关系： \[ \omega^2 = k^2c^2 - \frac{\mu^2c^4}{\hbar^2} \] ...

在\(t’=0\)时，有： \( x=\gamma x’ \) \( (ct)^2 =x^2 -x’^2 =x^2-(\frac{x}{\gamma})^2 \) \( x^2 =(ct)^2 +x’^2 =(ct)^2+(\frac{x}{\gamma})^2 \) \( t=\gamma \frac{vx’}{c^2} = \frac{vx}{c^2} \) \( ct =\frac{v}{c} x \) 解释： 此时，\(x\)和\(x’\)都在光行走的这条线上投影，\(x\)的投影正好是\(ct\), \(x’\)与光的方向垂直，投影为0，即\(ct’=0\)，如下图： 相当于把\(x\)轴和光线轴两个互换，这种情况类似快子，满足\(x=\frac{c^2}{v}t\)，在光轴上的投影为\(x_c=ct\) 在\(t=0\)时，有： \( x’=\gamma x \) \( (ct’)^2 =x’^2 -x^2 =x’^2-(\frac{x’}{\gamma})^2 \) \( x’^2 =(ct’)^2 +x^2 =(ct’)^2+(\frac{x’}{\gamma})^2 \) \( t’=-\gamma \frac{vx}{c^2} = -\frac{vx’}{c^2} \) \( ct’ =-\frac{v}{c}x’ \) 我们假设快子的振动形成了电磁波，那么快子的波动方程是什么，怎么用来描述量子纠缠？

问题重述 给定洛伦兹变换的坐标变换公式： \[ x’ = \gamma (x - v t) \] 其中，\(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\)，且 \(x’ = x\)。求速度 \(v\) 的值。 解题步骤 代入 \(x’ = x\)： \[ \gamma (x - v t) = x \] 展开 \(\gamma\)： \[ \frac{x - v t}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = x \] 两边乘以 \(\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\)： \[ x - v t = x \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \] 两边平方（注意平方可能引入增根，需验证）： \[ (x - v t)^2 = x^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) \] \[ x^2 - 2 x v t + v^2 t^2 = x^2 - \frac{x^2 v^2}{c^2} \] ...

能否不使用推迟势和洛伦兹变换和四维势法，得到B=\gamma v \times E’ / c^2 这是一个非常有趣且深刻的问题。你想在不使用推迟势、洛伦兹变换、也不使用四维势（如四维势矢量 \( A^\mu \)） 的前提下，推导出运动电荷产生的磁场表达式： \[ \mathbf{B} = \gamma \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}’}{c^2} \] 其中： \( \mathbf{B} \) 是在实验室参考系中观察到的磁感应强度， \( \mathbf{v} \) 是电荷的运动速度， \( \mathbf{E}’ \) 是在电荷静止参考系中（即共动系）的电场， \( \gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2} \) 是洛伦兹因子。 我们来分析：是否可以在不显式使用洛伦兹变换、推迟势、四维势的前提下，得到这个结果？ 一、目标表达式的物理意义 这个公式实际上是相对论性电磁场变换的结果。在电荷静止的参考系中，只有电场 \( \mathbf{E}’ \)，没有磁场 \( \mathbf{B}’ = 0 \)。当我们在一个相对于电荷以速度 \( \mathbf{v} \) 运动的参考系（实验室系）中观察时，根据电磁场的洛伦兹变换，磁场为： \[ \mathbf{B} = \gamma \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}’}{c^2} + \mathcal{O}(v^2/c^2) \] （精确形式还包含更高阶项，但低速下近似为 \( \mathbf{B} \approx \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2} \)） ...

假设光源沿着x轴以速度v匀速运动， 先考虑x轴方向： 光源离原点走一段t’时间后，发射一个光子，在时间t时观察点收到光子，观察点离原点距离x，则： \(c(t-t’)=x-vt’\) 即： \(t=t’+\frac{x-vt’}{c}\) 求微分： \(\frac{dt}{dt’}=1-\frac{v}{c}=\frac{c-v}{c}\) 表明光源在\(t_1\)时发射一个光子，然后再在\(t_2\)时发射另一个光子，如果光源不运动，那么在远处观察点收到两个光子的时间间隔应该是\(t_2-t_1\)，但如果光源以速度v运动，那么观察点收到的光子的时间差变成了\( \frac{c-v}{c}(t_2-t_1)\)。如果光源以光速运动，那么显然观察点收到的两个光子的时间差为0。在观察点处，光子密度变成了原来的\(\frac{c}{c-v}\)。 再考虑垂直方向： 光子沿着y轴发射，发射间隔和观察点收到的时间间隔是相同的。 考虑任意方向： 由 \(c(t-t’)=R=\vec{r}-\vec{v}t’\), \(R=\sqrt{(x-vt’)^2+y^2+z^2}\) 得： \( \frac{dt}{dt’}=1-\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{n}}{c}=1-\frac{v}{c}\frac{x-vt’}{R}\) 由\(c(t-t’)=R\)求得t’： \(t’ = \frac{c^2 t - x v - c\sqrt{(x - v t)^2 + (1 - v^2/c^2)(y^2 + z^2)}}{c^2 - v^2}\) 代入上式，则得： \( \frac{dt}{dt’} =\frac{R’}{R} \) \( R’=\sqrt{(x-vt)^2 + (y^2 + z^2)/\gamma^2 } \) \( R=\sqrt{(x-vt’)^2 + y^2 + z^2} \) \( =\gamma^2 \frac{v}{c}( x - v t ) + \sqrt{\gamma^2(x - v t)^2 + {y^2 + z^2}}\) ...

李纳维谢尔势方程是怎么推导出来的 “李纳维谢尔势方程”这个名称可能存在翻译或拼写上的误差。在物理学中，特别是经典电动力学中，有一个非常著名的方程组或表达式叫做李纳-维谢尔势（Liénard–Wiechert potentials），它描述了运动电荷产生的电磁势（标量势和矢量势）。这个势是麦克斯韦方程组在点电荷运动情况下的解，是经典电动力学中的重要结果。 下面我们来介绍李纳-维谢尔势（Liénard–Wiechert potentials）的推导过程。 一、背景：推迟势（Retarded Potentials） 在经典电动力学中，电磁场由电荷和电流分布产生。麦克斯韦方程组可以转化为关于电磁势的波动方程： \[ \Box \phi = \frac{\rho}{\varepsilon_0}, \quad \Box \mathbf{A} = \mu_0 \mathbf{J} \] 其中： \(\phi\) 是标量势， \(\mathbf{A}\) 是矢量势， \(\rho\) 是电荷密度， \(\mathbf{J}\) 是电流密度， \(\Box = \nabla^2 - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}\) 是达朗贝尔算符。 这类非齐次波动方程的解可以通过推迟势（retarded potentials）给出： \[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\rho\left(\mathbf{r}’, t_{\text{ret}}\right)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} d^3r’ \] \[ \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{J}\left(\mathbf{r}’, t_{\text{ret}}\right)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} d^3r’ \] 其中推迟时间定义为： \[ t_{\text{ret}} = t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}{c} \] ...

参考： 推迟势总结与洛伦兹变换 李纳维谢尔势方程是怎么推导出来的 李纳维-维谢尔势（Liénard-Wiechert potential）是描述运动点电荷产生的推迟电磁势，其推导过程结合了麦克斯韦方程、推迟势概念和相对论效应。以下是关键步骤的概述： 1. 基础：推迟势 麦克斯韦方程在洛伦兹规范下的解可表示为推迟势： \[ \varphi(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r}’, t’)}{\mathcal{R}} , d^3\mathbf{r}’, \quad \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}’, t’)}{\mathcal{R}} , d^3\mathbf{r}’, \] 其中： \( t’ = t - \mathcal{R}/c \) 是推迟时间（\(\mathcal{R} = |\mathbf{r} - \mathbf{r}’|\)）。 电荷和电流密度 \(\rho, \mathbf{J}\) 在 \( t’ \) 时刻取值。 2. 点电荷的电荷密度 对于运动点电荷 \( q \)，其电荷密度为： \[ \rho(\mathbf{r}’, t’) = q , \delta^{(3)}(\mathbf{r}’ - \mathbf{r}_q(t’)), \] 其中 \(\mathbf{r}_q(t’)\) 是电荷在 \( t’ \) 时刻的位置。电流密度为 \(\mathbf{J} = \rho \mathbf{v}_q\)（\(\mathbf{v}_q\) 为电荷速度）。 ...

参考： 推迟势中的坐标变换 推迟势总结与洛伦兹变换 我们把推迟势方程作为一个数学模型：假设一个光源向四周发射光线，静止时各向同性，发射各向同样的射线，r^2=x^2+y^2+z^2, 当光源沿着x轴匀速运动时，求其发射的射线的点到光源的距离的方程 问题重述 我们有一个光源，最初在静止时向四周各向同性地发射光线。在静止参考系中，光源的位置可以表示为 \( r^2 = x^2 + y^2 + z^2 \)。现在，光源开始沿着 \( x \) 轴以匀速 \( v \) 运动。我们需要求出在光源运动的情况下，其发射的射线的点到光源的距离的方程。 理解问题 首先，我们需要明确几个概念： 各向同性发射：在光源的静止参考系中，光源向所有方向均匀地发射光线。这意味着在任何方向上，光线的传播都是对称的。 推迟势（Retarded Potential）：这是一个在电磁学中常用的概念，指的是由于信息传递的速度有限（光速），观察者在某一时刻感受到的场是由源在更早时刻（“推迟时刻”）的状态决定的。 光源的运动：光源以匀速 \( v \) 沿 \( x \) 轴运动。我们需要考虑光源的运动如何影响光线的传播和观测。 静止光源的情况 在静止光源的情况下，光源位于原点 \( (0, 0, 0) \)，在时间 \( t \) 发射的光线在时间 \( t’ \) 到达观察点 \( (x, y, z) \)。光速为 \( c \)，因此有： \[ \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = c (t’ - t) \] ...

达朗贝尔方程（D’Alembert’s Equation）是数学物理中的一个重要偏微分方程，广泛应用于波动现象的描述，例如电磁波、声波和弹性波的传播。它以法国数学家让·勒朗·达朗贝尔（Jean le Rond d’Alembert）命名，他在18世纪研究了一维波动方程的解法。 一、达朗贝尔方程的一般形式 在三维空间中，达朗贝尔方程（也称非齐次波动方程）的标准形式为： \[ \Box u(\mathbf{r}, t) = f(\mathbf{r}, t) \] 其中： \( u(\mathbf{r}, t) \) 是待求的物理量（如电势、位移等），是空间 \(\mathbf{r}\) 和时间 \(t\) 的函数； \( f(\mathbf{r}, t) \) 是源项（如电荷密度、外力等）； \( \Box \) 是达朗贝尔算子（D’Alembertian），定义为： \[ \Box = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \] 其中： \( c \) 是波的传播速度（如光速、声速）； \( \nabla^2 \) 是拉普拉斯算子（空间上的二阶导数）。 因此，达朗贝尔方程可写为： \[ \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \nabla^2 u = f(\mathbf{r}, t) \] 二、特殊情况：齐次达朗贝尔方程 当 \( f(\mathbf{r}, t) = 0 \) 时，方程变为齐次波动方程： ...