一个是质能方程的真正推导，最原始的推导方法，涉及静质量的来源 一个是量子纠缠的本质，e光和o光，马吕斯定律的本质，构建违反贝尔不等式的非纠缠联合概率函数

非常好！你提到了“纵向多普勒效应”，这是狭义相对论和电磁学中一个非常关键的现象，也是理解高速运动光源观测行为的核心之一。我们来系统、深入地讲解这个概念，并结合你之前的讨论（如推迟势、世界线、时间膨胀等）进行统一解释。 🌟 一、什么是纵向多普勒效应？ 定义： 纵向多普勒效应 是指：当光源与观察者沿连线方向有相对运动时，观察者接收到的光波频率发生变化的现象。由于考虑了狭义相对论的时间膨胀效应，它与经典多普勒效应不同。 关键点： “纵向”意味着运动方向沿着视线（即径向）； 包含两个物理效应： 经典多普勒效应（由于相对运动导致波前压缩或拉伸）； 相对论时间膨胀（运动时钟变慢）。 📌 二、公式表达 设： 光源在其静止系中发射频率为 $ f_0 $ 的光； 观察者相对于光源以速度 $ v $ 运动； $ c $ 为光速。 1. 光源朝向观察者运动（蓝移）： $$ f = f_0 \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} \quad \text{其中} \quad \beta = \frac{v}{c} $$ 2. 光源远离观察者运动（红移）： $$ f = f_0 \sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}} $$ ⚠️ 注意：这里假设运动是沿视线方向的 —— 所以叫“纵向”。 🔍 三、与经典多普勒效应的区别 项目 经典多普勒（声波类比） 相对论纵向多普勒 是否需要介质？ 是（如空气） 否（真空中成立） 是否包含时间膨胀？ 否 ✅ 是 对称性 不对称（源动 vs 观测者动不同） ✅ 对称（只依赖相对速度） 极限情况 $ v \to c $ $ f \to \infty $ 或 0 $ f \to \infty $（趋近）或 0 👉 相对论版本更本质：它不依赖于“谁在动”，只依赖于相对速度，并自动包含时间膨胀。 ...

单个光子通过偏振片的实验有没有做过 ✅ 是的，用单个光子通过偏振片的实验来验证马吕斯定律（Malus’s Law）以及偏振方向与通过概率的关系，不仅有人做过，而且是量子光学中的经典实验，已被多次精确验证。 ✅ 明确回答你的问题： ❓ “有没有人用单个光子通过偏振片的实验来验证马吕斯定律和偏振方向与通过概率的关系？” ✅ 答案：有，而且是现代量子光学的基础实验之一。 🔬 实验核心：验证量子版马吕斯定律 📌 经典马吕斯定律（1809年）： 对于一束经典光，通过一个偏振片后的光强为： \[ I = I_0 \cos^2\theta \] 其中 \(\theta\) 是入射偏振方向与偏振片透光轴的夹角。 📌 量子版本（单光子）： 对于单个光子，它不是“部分通过”，而是： 要么通过（被探测到） 要么被吸收/反射（未被探测） 但通过的概率为： \[ P(\text{通过}) = |\langle \theta | \psi \rangle|^2 = \cos^2\theta \] 👉 这正是马吕斯定律的概率解释，也是量子测量的基本规则。 🏆 谁做了这个实验？关键里程碑 1. Grangier, Roger & Aspect 实验（1986） —— 最著名的验证 论文：Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: a new light on single-photon interferences (P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Europhysics Letters, 1986) ...

可以把退相干理解为\(E=Ecos(\theta)+Esin(\theta)\)，即E由多个分量形成，在其中一个分量受影响后，另一个也会马上受影响 什么情况下，两个分量会相干： \( (Ecos(\theta)+Esin(\theta))^2 =E^2 + 2Ecos(\theta)sin(\theta)=E^2 + E^2sin(2\theta)\) 显然如果是完全垂直的关系，则互不相干 也就是两个分量会相关，是因为有第三个分量的加入，破坏了垂直关系？ 一个电场，在垂直方向有两个分量E_x, E_y，那么这个电场的分量是否可以影响无限远，或者可以投影到无限远的x轴y轴上 这是一个非常深刻的问题，涉及电磁场的传播、远场行为和矢量投影。我们来一步步清晰地回答： ❓ “一个电场在垂直方向有两个分量 \(E_x, E_y\)，它的分量是否可以影响无限远？能否投影到无限远的 x 轴、y 轴上？” ✅ 简短回答： 是的，一个具有 \(E_x\) 和 \(E_y\) 分量的电场可以传播到无限远，并在远处的 x、y 方向上保持其分量信息（在自由空间中）， 只要没有介质吸收或散射。 而且，我们可以在“无限远”（远场）对电场进行 \(x\) 和 \(y\) 分量的投影，这正是天线辐射、光学成像和偏振测量的基础。 一、电场的分量是什么？ 设某点的电场为： \[ \vec{E} = E_x \hat{x} + E_y \hat{y} \] 这表示电场在 \(x\) 和 \(y\) 方向都有振动分量（例如，横波中的偏振）。 这常见于： 光波（电磁波） 天线辐射 纠缠光子的偏振态 二、这个电场能传到“无限远”吗？ ✅ 在自由空间中：可以 电磁波以光速 \(c\) 向外传播 如果没有吸收、散射或衍射限制，电场可以传播到任意远处 幅度会随距离衰减（如 \(1/r\) 对球面波），但分量方向结构保留 举例：平面波解 \[ \vec{E}(r, t) = \left( E_x \hat{x} + E_y \hat{y} \right) e^{i(kz - \omega t)} \] ...

我们来计算表达式： \[ m v_n a_n \] 其中： \( m = m_e \)：电子质量 \( v_n \)：氢原子中电子在第 \( n \) 能级的特征速度 \( a_n \)：电子在第 \( n \) 能级的轨道半径（通常指平均半径或玻尔轨道半径） 我们使用玻尔模型或类玻尔量子力学的定义，因为这些量在薛定谔图像中是期望值或特征尺度。 1. 已知公式 （1）速度 \( v_n \) \[ v_n = \frac{\alpha c}{n} \] 其中 \( \alpha \) 是精细结构常数，\( \alpha \approx \frac{1}{137} \) 或者从玻尔模型： \[ v_n = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 \hbar} \cdot \frac{1}{n} = \frac{\hbar}{m_e a_0 n} \quad \text{（因为 } a_0 = \frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} \text{）} \] ...

经典一维谐振子中的动量 好的，我们来详细探讨经典一维谐振子中的动量。这与量子情况有本质的区别，图像上要直观得多。 1. 核心结论：动量是周期性变化的 在经典力学中，一维谐振子的动量和位置一样，是随时间周期性变化的。它不是一个固定的值，而是在一个最大值和最小值之间不断振荡。 动量期望值：在经典语境下，我们通常不谈“期望值”，但如果我们对一个完整周期取平均，其平均动量也为零。因为一半时间朝正方向运动，另一半时间朝负方向运动，相互抵消。 动量的大小：在任意时刻，动量都有一个确定的值。 2. 运动方程与解析解 一个经典的一维谐振子，其运动由胡克定律决定：F = -kx，其中 k 是劲度系数。 其运动方程是： \[ m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx \] 这个微分方程的通解是简谐运动方程： \[ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) \] 其中： A 是振幅（运动的最大位移）。 ω = √(k/m) 是角频率。 φ 是初相位，由初始条件决定。 动量的推导 动量 p 定义为质量乘以速度 (p = m v)，而速度是位置对时间的导数 (v = dx/dt)。 因此，我们对位置函数求导即可得到动量： \[ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) \] \[ v(t) = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \phi) \] \[ p(t) = m v(t) = -m A \omega \sin(\omega t + \phi) \] ...

贝尔不等式实验验证中，为什么不直接对P++进行验证 在贝尔不等式（Bell’s inequality）的实验验证中，我们确实会测量诸如 \( P_{++} \) 这样的联合概率（即两个观测者在各自选择测量方向后，同时得到“+”结果的概率），但不直接仅凭 \( P_{++} \) 来验证贝尔不等式，原因如下： 1. 贝尔不等式依赖于相关性（Correlation），而不仅仅是单一概率 贝尔不等式的核心是检验量子力学与局域隐变量理论（local hidden variable theories, LHVT）对测量结果相关性的预测差异。 相关性（correlation）通常定义为： \[ E(a, b) = P_{++}(a,b) + P_{–}(a,b) - P_{+-}(a,b) - P_{-+}(a,b) \] 其中： \( a, b \) 是两个测量方向（如偏振片的角度）， \( P_{++}(a,b) \) 是A测到+、B测到+的概率，其余类推。 贝尔不等式（如CHSH不等式）是基于这些相关性 \( E(a,b) \) 构造的，例如： \[ S = |E(a,b) - E(a,b’)| + |E(a’,b) + E(a’,b’)| \leq 2 \] 这个 \( S \) 的值在局域隐变量理论中不能超过 2，但在量子力学中可以达到 \( 2\sqrt{2} \approx 2.828 \)，从而违背不等式。 ...

求无数对非纠缠线偏振粒子对，线偏振方向互相垂直，它们的P值和E(a,b),S 我们来分析一个非常基础但关键的物理场景： 有无数对“非纠缠”的线偏振粒子对，每对中两个粒子的线偏振方向互相垂直。求它们的联合概率 \( P_{++} \) 等、关联函数 \( E(a,b) \) 和 CHSH 量 \( S \)。 这个问题的目的是：与纠缠态对比，理解经典关联的极限。 🎯 问题设定 每对粒子由两个粒子组成：粒子1 和 粒子2 每对中： 粒子1 的偏振方向为 \( \theta \) 粒子2 的偏振方向为 \( \theta + 90^\circ \)（垂直） \( \theta \) 在 \( [0, 2\pi) \) 上均匀随机分布（即所有方向等概率） 测量时，Alice 在方向 \( a \) 测量粒子1，Bob 在方向 \( b \) 测量粒子2 测量结果：\( + \)（通过），\( - \)（被挡住） 我们要计算： 联合概率 \( P_{++}(a,b), P_{+-}(a,b) \) 等 关联函数 \( E(a,b) \) CHSH 量 \( |S| \) ✅ 第一步：单对粒子的测量概率（固定 \( \theta \)） 设粒子1 偏振为 \( \theta \)，粒子2 为 \( \theta + \frac{\pi}{2} \) ...

如何将一个光子，切成两个形成纠缠态 将一个光子“切成两个”形成纠缠态，这个说法在通俗语境中听起来像是科幻，但从量子光学的角度来看，它其实描述的是一个真实存在的物理过程——自发参量下转换（Spontaneous Parametric Down-Conversion, SPDC）。这个过程可以将一个高能光子（通常是紫外或可见光）转换为两个低能光子（通常是近红外或可见光），这两个光子处于量子纠缠态。 下面我们来详细解释这个过程： 1. 什么是自发参量下转换（SPDC）？ SPDC 是一种非线性光学过程，发生在非线性晶体中（如 BBO、KDP、LiNbO₃ 等）。当一个高能量的泵浦光子（pump photon）进入这种晶体时，有一定概率在晶体内部与晶格相互作用，分裂成两个能量较低的光子： 一个称为信号光子（signal photon） 一个称为闲频光子（idler photon） 根据能量和动量守恒： 能量守恒： \( \omega_p = \omega_s + \omega_i \) （泵浦光子频率 = 信号光子频率 + 闲频光子频率） 动量守恒（相位匹配条件）： \( \vec{k}_p = \vec{k}_s + \vec{k}_i \) （泵浦光子波矢 = 信号 + 闲频波矢） 由于这个过程是“自发”的（由真空涨落触发），无法预测具体何时发生，也无法精确预测两个子光子的方向和偏振，但它们是量子关联的。 2. 如何产生纠缠态？ 通过精心设计实验条件，可以使这两个下转换光子在某些自由度上处于纠缠态。常见的纠缠类型包括： （1）偏振纠缠 使用 Type-II 或 Type-I SPDC 晶体，配合双折射补偿或双晶体结构，可以产生如下形式的偏振纠缠态： \[ |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |H\rangle_s |V\rangle_i + e^{i\phi} |V\rangle_s |H\rangle_i \right) \] 其中： \( H \)：水平偏振 \( V \)：垂直偏振 \( s \) 和 \( i \)：信号和闲频光子 这个态表示：如果你测量信号光子是 H，那么闲频光子一定是 V，反之亦然，但在测量前两者都处于叠加态。 ...

纠缠和非纠缠态的期望值E(a,b) 我们计算期望值 \( E(a, b) \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 是两个偏振片的角度。 期望值定义为： \[ E(a, b) = P_{++} + P_{–} - P_{+-} - P_{-+} \] 即同时透射或同时反射的概率减去结果不同的概率。 情况1：纠缠光子对（贝尔态 \( |\Psi^-\rangle \)） 从之前结果： \[ \begin{aligned} P_{++}(\theta_a, \theta_b) &= \frac{1}{2} \sin^2(\theta_b - \theta_a) \\ P_{+-}(\theta_a, \theta_b) &= \frac{1}{2} \cos^2(\theta_a - \theta_b) \\ P_{-+}(\theta_a, \theta_b) &= \frac{1}{2} \cos^2(\theta_a - \theta_b) \\ P_{–}(\theta_a, \theta_b) &= \frac{1}{2} \sin^2(\theta_b - \theta_a) \end{aligned} \] 代入： \[ \begin{aligned} E(a, b) &= P_{++} + P_{–} - P_{+-} - P_{-+} \\ &= \frac{1}{2} \sin^2(\theta_b - \theta_a) + \frac{1}{2} \sin^2(\theta_b - \theta_a) - \frac{1}{2} \cos^2(\theta_a - \theta_b) - \frac{1}{2} \cos^2(\theta_a - \theta_b) \\ &= \sin^2(\theta_b - \theta_a) - \cos^2(\theta_a - \theta_b) \end{aligned} \] 利用三角恒等式： \[ \sin^2 x - \cos^2 x = -\cos(2x) \] 且 \(\cos(\theta_a - \theta_b) = \cos(\theta_b - \theta_a)\)，所以： \[ E(a, b) = -\cos[2(\theta_b - \theta_a)] = -\cos[2(\theta_a - \theta_b)] \] 因此： \[ \boxed{E(a, b) = -\cos[2(\theta_a - \theta_b)]} \] 这就是著名的量子力学相关函数。 ...