平面波函数\psi=Ae^i{(px-Et)/h}，是怎么猜测出来的 平面波函数的形式： $$ \psi(x, t) = A e^{i \frac{px - Et}{\hbar}} $$ 是量子力学中描述自由粒子的基本解之一，它来源于对波动性和粒子性的结合理解。下面我来一步步解释这个形式是怎么“猜测”出来的，并说明它的物理背景和数学推导思路。 一、从经典波动方程出发的启发 在经典物理学中，一个简谐波可以表示为： $$ \psi(x, t) = A e^{i(kx - \omega t)} $$ 其中： $ k $ 是波数（$k = \frac{2\pi}{\lambda}$）， $ \omega $ 是角频率（$\omega = 2\pi f$）， $ A $ 是振幅。 这是经典的行波解，描述了一个沿 $ x $ 方向传播的波。 二、德布罗意物质波假设的引入（1924年） 路易·德布罗意提出：微观粒子也具有波动性，并给出了两个重要关系： $$ p = \hbar k, \quad E = \hbar \omega $$ 即： 粒子的动量 $ p $ 对应波的波数 $ k $ 粒子的能量 $ E $ 对应波的角频率 $ \omega $ 这里的 $\hbar = \frac{h}{2\pi}$ 是约化普朗克常数。 ...

假定薛定谔方程形式： \( i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi \) 概率密度： \(\rho(\mathbf{x}, t) = |\psi(\mathbf{x}, t)|^2 = \psi^* \psi\) 于是： \(\frac{\partial \rho}{\partial t} = \psi^* \frac{\partial \psi}{\partial t} + \psi \frac{\partial \psi^*}{\partial t}\) \( = \frac{i\hbar}{2m} \left( \psi^* \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \psi^* \right)\) \( = \nabla \cdot \left( \psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^* \right) \) 为满足 \(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0\) ...

klein gordon为什么有负概率密度 克莱因-戈登（Klein-Gordon）方程在量子场论中描述的是自旋为零的标量粒子。关于负概率密度的问题，可以从以下几个方面来理解： 1. 克莱因-戈登方程的起源 克莱因-戈登方程是相对论性的波动方程，形式为： \[ \left(\Box + m^2\right)\phi = 0 \quad \text{（其中} \Box = \partial_\mu \partial^\mu = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2\text{）} \] 它是从相对论能量-动量关系 \(E^2 = p^2 + m^2\) 通过量子化替换 \(E \to i\partial_t\) 和 \(\mathbf{p} \to -i\nabla\) 导出的。 2. 概率密度的定义 在非相对论量子力学中，薛定谔方程的概率密度 \(\rho = \psi^*\psi\) 是正定的，且满足连续性方程 \(\partial_t \rho + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0\)。 而对于克莱因-戈登方程，其自然的“概率密度”形式为： \[ \rho = \frac{i}{2m}\left(\phi^* \partial_t \phi - \phi \partial_t \phi^*\right) \] 这个表达式是从克莱因-戈登方程的守恒流 \(j^\mu = i\left(\phi^* \partial^\mu \phi - \phi \partial^\mu \phi^*\right)\) 中提取的时间分量（\(\rho = j^0\)）。由于 \(\partial_t \phi\) 和 \(\partial_t \phi^*\) 可以是任意的，\(\rho\) 可能取负值。 ...

狄拉克方程的结构形式为： \(E I_4 = k_1 p_x + k_2 p_y + k_3 p_z + k_4 m\)的形式， \(k_i\)为\(4x4\)矩阵 且满足： \(E^2 = p_x^2 + p_y^2 + p_z^2 + p_m^2 \)的形式， 而对于\(k_i p_i\)，对角形式我们可以写成下列形式： \(\begin{pmatrix}\pm a & 0 \\ 0 & \pm a \end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix}0 & a \\ a & 0 \end{pmatrix}\)， \(\begin{pmatrix}0 & -ia \\ ia & 0 \end{pmatrix}\) a是二维矩阵，满足\(a^2=p_i^2 I_2\) 同理，a可以取下列值： \(\begin{pmatrix}\pm p_i & 0 \\ 0 & \pm p_i \end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix}0 & p_i \\ p_i & 0 \end{pmatrix}\)， ...

假设A=(a b\c d), 使用A^2=(x^2+y^2)，求a,b,c,d 问题描述 给定一个 \( 2 \times 2 \) 矩阵： \[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \] 要求其平方满足： \[ A^2 = (x^2 + y^2) I, \] 其中 \( I \) 是单位矩阵，\( x \) 和 \( y \) 是标量（实数或复数）。我们需要求出矩阵元素 \( a, b, c, d \) 的具体表达式。 1. 计算 \( A^2 \) 首先，计算 \( A \) 的平方： \[ A^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} a^2 + b c & a b + b d \\ c a + d c & c b + d^2 \end{pmatrix}. \] ...

狄拉克方程中，自旋来自动量分量？ 在狄拉克方程中，自旋并非直接来自动量分量，而是方程本身的结构自然蕴含了自旋自由度的结果。不过，动量与自旋算符的特定关系（如自旋-轨道耦合项）表明两者之间存在深刻的联系。以下是关键点的分步解释： 1. 狄拉克方程的基本形式 狄拉克方程描述了相对论性自旋1/2粒子（如电子）： $$ \left(i\gamma^\mu \partial_\mu - m\right)\psi = 0 $$ 其中： $\gamma^\mu$ 是4×4的狄拉克矩阵（$\mu=0,1,2,3$），满足 Clifford 代数 $\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = 2g^{\mu\nu}$。 $\psi$ 是四分量旋量（包含粒子和反粒子的两个自旋态）。 2. 自旋的起源：旋量表示 自旋的出现源于狄拉克方程的旋量解。具体而言： 在非相对论量子力学中，自旋是作为额外自由度（如泡利矩阵）引入的。 而在狄拉克理论中，四分量旋量天然地编码了自旋1/2的自由度。这是因为： 洛伦兹群的表示理论要求，在相对论性量子力学中，粒子必须由旋量（而非标量或矢量）描述。 旋量的变换性质直接关联到自旋的数学结构。 3. 动量与自旋的关系 虽然自旋不直接来自动量，但狄拉克方程揭示了动量与自旋的耦合： 自由粒子解：平面波解 $\psi \sim e^{-ip\cdot x}$ 中，动量 $p_\mu$ 与旋量部分通过狄拉克方程耦合： $$ (\gamma^\mu p_\mu - m)\psi = 0 $$ 这一方程的解（正能解和负能解）对应不同的自旋投影态。 自旋算符：狄拉克理论中的自旋算符为： $$ \Sigma^i = \frac{i}{4}\epsilon^{ijk}[\gamma^j, \gamma^k] $$ 它与轨道角动量 $L_i = \epsilon_{ijk}x^j p^k$ 共同构成总角动量 $J_i = L_i + \frac{\hbar}{2}\Sigma^i$，满足角动量守恒。 自旋-轨道耦合：在中心势场（如氢原子）中，狄拉克方程自然导出自旋-轨道相互作用项： $$ H_{SO} \propto \frac{1}{r}\frac{dV}{dr} \mathbf{L}\cdot\mathbf{S} $$ 这表明动量的空间分布（$\mathbf{L}$）与自旋（$\mathbf{S}$）之间存在耦合。 ...

一个粒子的动量关系如下： \( p^2 =p_x^2 +p_y^2 +p_z^2 \) 或： \( \vec{p} = p_x \vec{x} + p_y \vec{y} + p_z \vec{z} \) 假设一个粒子是绕z轴旋转，所以动量关系要表示为向量方式，x，y方向可以合成一个，比如： \( \vec{p} = p_x \vec{x} + p_y \vec{y} + p_z \vec{z} \) \( = p_x \vec{x} + i p_y \vec{x} + p_z \vec{z} \) 这里，是用了 \( \vec{y} =i \vec{x} \)表示了y是x逆时针旋转90度 于是将三个向量，变成了两个向量，上式可以表示为： \( p_x \vec{x} + i p_y \vec{x} + p_z \vec{z} = (p_x+ip_y, p_z)\begin{pmatrix} \vec{x} \\ \vec{z} \end{pmatrix} \) ...

根据\( (ct)^2-x^2=(ct’)^2-x’^2 \)， \(O\)坐标内的点\((t,x)\)，对应着\(O’\)坐标内的\((t’,x’)\)，如果\(O’\)原点从\(O\)的原点走到点\((t’,x’)\)，那么走的距离为\(x’+vt’\)，所花的时间为\(\frac{x’+vt’}{v}\)，也就是光走的距离为\(\frac{c(x’+vt’)}{v}\)，因为是原点，所以对应的\(x’\)为\(0\)，而在\(O\)坐标系内，花的时间为\(\frac{x}{v}\)，光走的距离为\( \frac{c x}{v} \)，于是有： \((\frac{c x}{v})^2 -x^2 =(\frac{c(x’+vt’)}{v})^2\) 可得： \( x=\gamma (x’+vt’) \)

\(\sigma^\mu \partial_\mu = \sum_{\mu=0}^3 \sigma^\mu \partial_\mu = \sigma^0 \partial_0 + \sigma^1 \partial_1 + \sigma^2 \partial_2 + \sigma^3 \partial_3\) 即： \[ \sigma^\mu \partial_\mu = \begin{pmatrix} \partial_t + \partial_z & \partial_x - i \partial_y \\ \partial_x + i \partial_y & \partial_t - \partial_z \end{pmatrix} \] 右手系： 满足的方程 \( (E I + \vec{\sigma} \cdot \vec{p}) u(p) = 0 \) \( u(p) =(u_1, u_2) \) 即： \(\begin{pmatrix} E + p_z & p_x - i p_y \\ p_x + i p_y & E - p_z \end{pmatrix} u(p) = 0\) ...

d’Alembert方程（或称为波动方程）是描述一维波动现象的基本偏微分方程，形式如下： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \] 其中： \( u(x, t) \) 是波的位移函数，表示位置 \( x \) 和时间 \( t \) 时的振幅。 \( c \) 是波速（常数，由介质的性质决定）。 d’Alembert 方程（波动方程）通常表示为： \[ \Box \phi = \left( \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \right) \phi = 0 \] 其中： \(\Box\) 是 d’Alembert 算子（波动算子）， \(\nabla^2\) 是 拉普拉斯算子（空间二阶导数）， \(c\) 是波速（如光速）。 d’Alembert 方程： \[ \Box \phi = 0 \] 可以写成： \[ \left( -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} + \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right) \phi = 0 \] ...