一维谐振子，总能量是什么 一维谐振子的总能量由经典和量子两种情况描述： 1. 经典一维谐振子 在经典力学中，一维谐振子的总能量 \( E \) 是动能 \( T \) 和势能 \( V \) 之和： \[ E = T + V = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}kx^2 \] 其中： \( m \) 是振子的质量， \( k \) 是弹簧常数（力常数）， \( x \) 是位移， \( p \) 是动量。 在无阻尼情况下，总能量 \( E \) 守恒，且与振幅 \( A \) 的关系为： \[ E = \frac{1}{2}kA^2 \] 2. 量子一维谐振子 在量子力学中，一维谐振子的能量是量子化的，其能级由以下公式给出： \[ E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar \omega \quad (n = 0, 1, 2, \ldots) \] 其中： ...

如果存在磁单极子，则麦克斯韦方程变成什么形式 这是一个极其深刻且富有理论美感的问题！ 如果存在磁单极子（magnetic monopole），麦克斯韦方程组会变成什么形式？ 目前实验上尚未发现磁单极子，但从理论上看，如果存在磁荷（磁单极子），麦克斯韦方程组将呈现出惊人的对称性——电与磁将完全对偶。 一、标准麦克斯韦方程组（无磁单极） 在 SI 单位制中，真空中的麦克斯韦方程为： \[ \begin{aligned} (1)\quad & \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho_e}{\varepsilon_0} && \text{（高斯定律）} \\ (2)\quad & \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 && \text{（无磁单极）} \\ (3)\quad & \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} && \text{（法拉第定律）} \\ (4)\quad & \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}_e + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} && \text{（安培-麦克斯韦定律）} \end{aligned} \] 其中： \( \rho_e \)：电荷密度 \( \mathbf{J}_e \)：电流密度 注意：方程 (2) 说“磁场无源”——即不存在磁荷。 ...

非常好的问题！ 你问的是： 能否直接从 \( \mathbf{B} = \dfrac{1}{c^2} (\mathbf{v} \times \mathbf{E}) \)（SI单位制） 推出或验证： \[ \nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \quad ? \] 我们来仔细分析。 ✅ 简短回答： ❌ 不能普遍成立： 公式 \[ \nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \] 不是普遍成立的，即使你从 \( \mathbf{B} = \dfrac{1}{c^2} (\mathbf{v} \times \mathbf{E}) \) 出发。 但 ✅ 在特定条件下（匀速运动点电荷、远离源点）可以近似成立，并且： \[ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \] 是麦克斯韦方程，其中 \( \mu_0 \varepsilon_0 = \dfrac{1}{c^2} \)，所以： \[ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \] ...

这是一个极其深刻、基础性的问题！ 标量势 \( \phi \) 和矢量势 \( \mathbf{A} \) 是怎么来的？ 它们不是凭空发明的，而是从麦克斯韦方程组的数学结构中自然“浮现”出来的。我们可以通过分析电磁场的性质（特别是它的散度和旋度），发现：为了满足某些恒成立的物理定律（如 \( \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \)），我们必须引入这些“势”。 下面我们一步步来揭示它们的来源。 一、从麦克斯韦方程出发 真空中麦克斯韦方程组（高斯单位制）： \( \nabla \cdot \mathbf{E} = 4\pi \rho \) → 电场散度由电荷密度决定 \( \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \) → 磁场无散（没有磁单极） \( \nabla \times \mathbf{E} = -\dfrac{1}{c} \dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \) → 法拉第电磁感应定律 \( \nabla \times \mathbf{B} = \dfrac{4\pi}{c} \mathbf{J} + \dfrac{1}{c} \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \) → 安培-麦克斯韦定律 我们注意到：方程 (2) 和 (3) 是“齐次方程”（右边不直接含源或只含其他场的时间导数），它们揭示了电磁场的几何结构，正是从这两个方程中，势 \( \phi \) 和 \( \mathbf{A} \) 被引入。 ...

自旋磁矩 \(\mu\)与磁场的作用能： \(\mathbf{\mu} \cdot \mathbf{B} =\mu_x B_x + \mu_y B_y + \mu_z B_z \) 量子力学下，自旋磁矩变成了算符： \(\mathbf{\mu} =g \left( \frac{e}{2mc} \right) \mathbf{S} \) 对电子，\(g=2\)，自旋\( \mathbf{S} =\frac{\hbar}{2} \sigma \) \(\mathbf{\mu} \cdot \mathbf{B} =\frac{e \hbar}{2mc} (\sigma_x B_x + \sigma_y B_y + \sigma_z B_z) \)

一维谐振子， 弹性系数k的来源： \(F=-kx\) 运动方程： \(\frac{d^2 x(t)}{dt^2} + \omega^2 x(t) = 0 \quad \Rightarrow \quad x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\) 波动方程： \(\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}\), \(c = a \sqrt{\frac{k}{m}}\), \(a\)是粒子之间的间距 解为 \(u(x,t) = \cos(kx - \omega t), \quad \text{其中} \ \omega = k c\) (此处的k和前面的k不是同一个) 弹性系数k分析: \(k=\frac{mc^2}{a^2}\) 设离子电荷为 \( \pm e \)，平衡间距为 \( a \)，则 \( k \) 量级为： \(k \sim \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 a^3}\), ...

\(x={a^{\mu}}_{\sigma} x’\) \(x’= {a_{\sigma}}^\mu x\) \({a_\sigma}^\mu \equiv {(a^{-1})^\mu}_\sigma\) \[ {a^\mu}_\nu = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma \beta & 0 & 0 \\ -\gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \beta = \frac{v}{c}, \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \] 逆矩阵\({a_\nu}^\mu\)： \[ {a_\nu}^\mu = (a^{-1})^\mu_\nu = \begin{pmatrix} \gamma & \gamma \beta & 0 & 0 \\ \gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] ...

在不同坐标下，发射光，都会有: \(x=ct\), 即： \(ct-x=0\) 伽利略变换下： \(x’ = x - vt, \quad t’ = t\),有： \(x’ = ct - vt = ct’ - vt’\),即： \(ct’-x’ = vt’\), 可见由于坐标系在移动，光速不变在伽利略变换下是不协变的。 使用变形的伽利略变换： \(x=x’+vt’, t=t’+vx’/c^2\), 时间进行了补偿，补充多余的vt’部分，有： \(ct - x = c ( t’ + \frac{v x’}{c^2} ) - (x’ + v t’) \) \(= c t’ + \frac{v x’}{c} - x’ - v t’\), \(= (c - v)t’ + ( \frac{v}{c} - 1 )x’\), 由\(ct-x=0\)，有： ...

我们根据\((ct)^2 =x^2 +y^2\)，两边同乘以波数\(k^2\)，有： \((ct)^2 k^2 =x^2 k^2 +y^2 k^2\), 即： \((wt)^2 =(kx)^2 +(yk)^2\) 令\(x =vt\), 则\(y=\sqrt{c^2-v^2} t\) 有: \((wt)^2 =(kvt)^2 +(k \sqrt{c^2-v^2} t)^2\) 即： \(w^2 =(kv)^2 +(k\sqrt{c^2-v^2} t)^2\) 两边同乘以\( \hbar^2 \): \( (\hbar w) ^2 =(\hbar k v)^2 + (\hbar k \sqrt{c^2-v^2} t)^2 \) 即： \( E^2 =(pv)^2 + (p \sqrt{c^2-v^2})^2 =(pc)^2 \)，得： \( E=pc\), \(p=\hbar k=mc\) 也就是粒子的总能量，是由动量 \(p_x =\frac{pv}{c}=mv\)和另一个动量 \(p_y =\frac{p}{\gamma}\)生成的， 所以用总动量代替原来得动量似乎更合理, 此时始终有 \(E=pc\) \(v=0\)时，\(E =m_0 c^2 =pc =\hbar k_0 c \)，有： ...

球对称波动方程是波动方程在球对称情况下的形式，通常用于描述在具有球对称结构的空间中传播的波，例如声波、电磁波或量子力学中的波函数。球对称意味着物理量只与时间 $ t $ 和径向距离 $ r $ 有关，而与角度方向 $ \theta, \phi $ 无关。 一、三维波动方程的一般形式 三维波动方程的一般形式为： $$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u $$ 其中： $ u(\mathbf{r}, t) $ 是波函数（可以是位移、压力、电场等）； $ c $ 是波速； $ \nabla^2 $ 是拉普拉斯算子。 二、球坐标系下的拉普拉斯算子 在球坐标系 $ (r, \theta, \phi) $ 中，拉普拉斯算子的形式为： $$ \nabla^2 u = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2 u}{\partial \phi^2} $$ ...