能否不使用推迟势和洛伦兹变换和四维势法，得到B=\gamma v \times E’ / c^2 这是一个非常有趣且深刻的问题。你想在不使用推迟势、洛伦兹变换、也不使用四维势（如四维势矢量 \( A^\mu \)） 的前提下，推导出运动电荷产生的磁场表达式： \[ \mathbf{B} = \gamma \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}’}{c^2} \] 其中： \( \mathbf{B} \) 是在实验室参考系中观察到的磁感应强度， \( \mathbf{v} \) 是电荷的运动速度， \( \mathbf{E}’ \) 是在电荷静止参考系中（即共动系）的电场， \( \gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2} \) 是洛伦兹因子。 我们来分析：是否可以在不显式使用洛伦兹变换、推迟势、四维势的前提下，得到这个结果？ 一、目标表达式的物理意义 这个公式实际上是相对论性电磁场变换的结果。在电荷静止的参考系中，只有电场 \( \mathbf{E}’ \)，没有磁场 \( \mathbf{B}’ = 0 \)。当我们在一个相对于电荷以速度 \( \mathbf{v} \) 运动的参考系（实验室系）中观察时，根据电磁场的洛伦兹变换，磁场为： \[ \mathbf{B} = \gamma \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}’}{c^2} + \mathcal{O}(v^2/c^2) \] （精确形式还包含更高阶项，但低速下近似为 \( \mathbf{B} \approx \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2} \)） ...

推迟势中： \(\phi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{1}{R \left(1 - \dfrac{v(x - v t’)}{c R} \right)}\) \(\phi(\vec{r}, t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q}{\sqrt{ (x - v t)^2 + (y^2 + z^2)/\gamma^2 }}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q}{R’}\) R’是一个竖着的鸭蛋形状，y方向比x方向大，看上去是光线都朝y方向聚集 \(c(t - t’) = R = \sqrt{(x - v t’)^2 + y^2 + z^2}\) \(R=\sqrt{(x-vt’)^2 +y^2 +z^2}\) \(R’=\sqrt{(x-vt)^2 +(y^2 +z^2)/\gamma^2}\) \(t = t’+ R/c\) \(t’ = \frac{c^2 t - x v - c \sqrt{(x - v t)^2 + (1 - v^2/c^2)(y^2 + z^2)}}{c^2 - v^2}=\gamma^2 (t - \frac{x v}{c^2} - \frac{1}{c} R’)\) ...

李纳维谢尔势方程是怎么推导出来的 “李纳维谢尔势方程”这个名称可能存在翻译或拼写上的误差。在物理学中，特别是经典电动力学中，有一个非常著名的方程组或表达式叫做李纳-维谢尔势（Liénard–Wiechert potentials），它描述了运动电荷产生的电磁势（标量势和矢量势）。这个势是麦克斯韦方程组在点电荷运动情况下的解，是经典电动力学中的重要结果。 下面我们来介绍李纳-维谢尔势（Liénard–Wiechert potentials）的推导过程。 一、背景：推迟势（Retarded Potentials） 在经典电动力学中，电磁场由电荷和电流分布产生。麦克斯韦方程组可以转化为关于电磁势的波动方程： \[ \Box \phi = \frac{\rho}{\varepsilon_0}, \quad \Box \mathbf{A} = \mu_0 \mathbf{J} \] 其中： \(\phi\) 是标量势， \(\mathbf{A}\) 是矢量势， \(\rho\) 是电荷密度， \(\mathbf{J}\) 是电流密度， \(\Box = \nabla^2 - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}\) 是达朗贝尔算符。 这类非齐次波动方程的解可以通过推迟势（retarded potentials）给出： \[ \phi(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\rho\left(\mathbf{r}’, t_{\text{ret}}\right)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} d^3r’ \] \[ \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{J}\left(\mathbf{r}’, t_{\text{ret}}\right)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} d^3r’ \] 其中推迟时间定义为： \[ t_{\text{ret}} = t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}{c} \] ...

参考： 推迟势总结与洛伦兹变换 李纳维谢尔势方程是怎么推导出来的 李纳维-维谢尔势（Liénard-Wiechert potential）是描述运动点电荷产生的推迟电磁势，其推导过程结合了麦克斯韦方程、推迟势概念和相对论效应。以下是关键步骤的概述： 1. 基础：推迟势 麦克斯韦方程在洛伦兹规范下的解可表示为推迟势： \[ \varphi(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r}’, t’)}{\mathcal{R}} , d^3\mathbf{r}’, \quad \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}’, t’)}{\mathcal{R}} , d^3\mathbf{r}’, \] 其中： \( t’ = t - \mathcal{R}/c \) 是推迟时间（\(\mathcal{R} = |\mathbf{r} - \mathbf{r}’|\)）。 电荷和电流密度 \(\rho, \mathbf{J}\) 在 \( t’ \) 时刻取值。 2. 点电荷的电荷密度 对于运动点电荷 \( q \)，其电荷密度为： \[ \rho(\mathbf{r}’, t’) = q , \delta^{(3)}(\mathbf{r}’ - \mathbf{r}_q(t’)), \] 其中 \(\mathbf{r}_q(t’)\) 是电荷在 \( t’ \) 时刻的位置。电流密度为 \(\mathbf{J} = \rho \mathbf{v}_q\)（\(\mathbf{v}_q\) 为电荷速度）。 ...

参考： 推迟势中的坐标变换 推迟势总结与洛伦兹变换 我们把推迟势方程作为一个数学模型：假设一个光源向四周发射光线，静止时各向同性，发射各向同样的射线，r^2=x^2+y^2+z^2, 当光源沿着x轴匀速运动时，求其发射的射线的点到光源的距离的方程 问题重述 我们有一个光源，最初在静止时向四周各向同性地发射光线。在静止参考系中，光源的位置可以表示为 \( r^2 = x^2 + y^2 + z^2 \)。现在，光源开始沿着 \( x \) 轴以匀速 \( v \) 运动。我们需要求出在光源运动的情况下，其发射的射线的点到光源的距离的方程。 理解问题 首先，我们需要明确几个概念： 各向同性发射：在光源的静止参考系中，光源向所有方向均匀地发射光线。这意味着在任何方向上，光线的传播都是对称的。 推迟势（Retarded Potential）：这是一个在电磁学中常用的概念，指的是由于信息传递的速度有限（光速），观察者在某一时刻感受到的场是由源在更早时刻（“推迟时刻”）的状态决定的。 光源的运动：光源以匀速 \( v \) 沿 \( x \) 轴运动。我们需要考虑光源的运动如何影响光线的传播和观测。 静止光源的情况 在静止光源的情况下，光源位于原点 \( (0, 0, 0) \)，在时间 \( t \) 发射的光线在时间 \( t’ \) 到达观察点 \( (x, y, z) \)。光速为 \( c \)，因此有： \[ \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = c (t’ - t) \] ...

达朗贝尔方程（D’Alembert’s Equation）是数学物理中的一个重要偏微分方程，广泛应用于波动现象的描述，例如电磁波、声波和弹性波的传播。它以法国数学家让·勒朗·达朗贝尔（Jean le Rond d’Alembert）命名，他在18世纪研究了一维波动方程的解法。 一、达朗贝尔方程的一般形式 在三维空间中，达朗贝尔方程（也称非齐次波动方程）的标准形式为： \[ \Box u(\mathbf{r}, t) = f(\mathbf{r}, t) \] 其中： \( u(\mathbf{r}, t) \) 是待求的物理量（如电势、位移等），是空间 \(\mathbf{r}\) 和时间 \(t\) 的函数； \( f(\mathbf{r}, t) \) 是源项（如电荷密度、外力等）； \( \Box \) 是达朗贝尔算子（D’Alembertian），定义为： \[ \Box = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \] 其中： \( c \) 是波的传播速度（如光速、声速）； \( \nabla^2 \) 是拉普拉斯算子（空间上的二阶导数）。 因此，达朗贝尔方程可写为： \[ \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \nabla^2 u = f(\mathbf{r}, t) \] 二、特殊情况：齐次达朗贝尔方程 当 \( f(\mathbf{r}, t) = 0 \) 时，方程变为齐次波动方程： ...

研究推迟势，是为了通过其推导过程，找到洛伦兹变换产生的原因，并将其变成数学问题，用几何来直接生成椭球。然后再尝试将静能\(m_0c^2\)类比电荷变成场函数，寻找静能和动能产生的原因。还要结合量子场论中对静能的处理以及希格斯机制对质量的描述，不能发生冲突。

延迟势的意思 你的问题可能是指：为什么运动电荷产生的电磁场（由李纳-维谢尔势描述）在某些情况下会呈现“椭球”或非球对称的分布？ 这与电荷的运动状态和相对论效应密切相关。以下是详细解释： 1. 匀速运动电荷的场（无加速度） 对于匀速直线运动的电荷（\(\dot{\boldsymbol{\beta}} = 0\)），李纳-维谢尔势给出的电磁场是静态场的相对论性推广，其场分布不再是球对称，而是沿运动方向压缩，呈现椭球状。原因如下： 洛伦兹收缩：在电荷的运动方向上，电场线因相对论效应（长度收缩）被压缩，导致场强在垂直于运动方向（横向）更强，平行方向（纵向）较弱。 场分布公式： 匀速运动电荷的电场为： \[ \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{(1-\beta^2)}{(1-\beta^2 \sin^2 \theta)^{3/2}} \frac{\mathbf{R}}{R^3}, \] 其中 \(\theta\) 是观测方向与电荷速度方向的夹角，\(\beta = v/c\)。 当 \(\theta = 90^\circ\)（横向）时，场强最大； 当 \(\theta = 0^\circ\)（纵向）时，场强最小（被压缩）。 这导致等势面（或场强分布）从静止时的球对称变为旋转椭球对称。 2. 加速运动电荷的场（辐射场） 若电荷有加速度（\(\dot{\boldsymbol{\beta}} \neq 0\)），李纳-维谢尔势会额外产生辐射场（远场部分），其特点是： 方向性：辐射场集中在垂直于加速度的方向（如圆周运动时辐射集中在一个锥角内）。 非对称性：高速运动时，辐射场因相对论性“前冲效应”（relativistic beaming）沿速度方向聚集，形成非球对称分布。 3. 场的“椭球”形状的物理根源 相对论速度（\(v \sim c\)）： 电场线在运动方向上压缩，静电场部分变为椭球状（如匀速运动情况）。 辐射场的方向性进一步增强非对称性（如同步辐射的“搜索light效应”）。 加速度方向的影响： 若加速度方向与速度方向不平行（如圆周运动），辐射场在空间中的分布会呈现复杂的非球对称结构，可能表现为某种椭球或双叶形。 4. 直观图像 静止电荷：电场线球对称辐射（库仑场）。 匀速运动电荷：电场线沿运动方向压缩，形成“压扁的椭球”。 加速运动电荷：辐射场叠加在压缩的静电场之上，形成方向性极强的非对称分布（如右图）。 总结 椭球场分布：主要由匀速运动电荷的相对论性电场压缩导致（静电场部分）。 复杂非对称场：若电荷加速，辐射场的方向性会进一步扭曲空间分布。 关键参数：速度 \(v\) 和加速度 \(\dot{\mathbf{v}}\) 共同决定场的几何形状。 若你指的是其他具体场景（如特定运动轨迹下的场分布），可进一步讨论！ 这个是针对运动坐标系还是静止坐标系的方程 李纳-维谢尔势（Liénard-Wiechert potential）给出的电磁场表达式是**在静止坐标系（实验室参考系）**中描述的，即观察者处于惯性系，而电荷可以任意运动（匀速或加速）。以下是详细说明： ...

证明 \( E’^2 = E_0^2 + (c B’)^2 \) 我们假设在参考系 \( S \) 中，电场为 \( \vec{E} = \vec{E}_0 \)，磁场为 \( \vec{B} = 0 \)。参考系 \( S’ \) 以速度 \( v \) 沿 \( x \)-轴运动。根据洛伦兹变换，\( S’ \) 中的电磁场为： \[ \begin{aligned} E’_x &= E_{0x}, \\ E’_y &= \gamma E_{0y}, \\ E’_z &= \gamma E_{0z}, \\ B’_x &= 0, \\ B’_y &= -\frac{\gamma v}{c^2} E_{0z}, \\ B’_z &= \frac{\gamma v}{c^2} E_{0y}. \end{aligned} \] ...

对球面波\(F=\vec{r}/r’\)，\(r=(x-vt,y,z), r’=(\gamma(x-vt),y,z)\)， \( F=\frac{(x-vt,y,z)}{\sqrt{(\gamma(x-vt))^2+y^2+z^2}}\) 由于\(x\)方向多了个\(\gamma\)， 求旋度， \(\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right)\mathbf{i} - \left( \frac{\partial F_z}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial z} \right)\mathbf{j} + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right)\mathbf{k}\) y分量： \(\frac{\partial F_z}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial z} = -\frac{\gamma^2 z(x-vt)}{r’^3} + \frac{z(x-vt)}{r’^3} = \frac{z(x-vt)(1-\gamma^2)}{r’^3}\) 产生了\(1-\gamma^2\)的差值，于是产生了y方向的偏转，同理，也产生了z方向的偏转，最终产生了旋度。 最终结果： \(\nabla \times \left( \frac{\vec{r}}{r’} \right) = \frac{\gamma^2 v^2}{c^2} \left( 0, \frac{z(x-vt)}{r’^3}, -\frac{y(x-vt)}{r’^3} \right) \) ...