\(x={a^{\mu}}_{\sigma} x’\) \(x’= {a_{\sigma}}^\mu x\) \({a_\sigma}^\mu \equiv {(a^{-1})^\mu}_\sigma\) \[ {a^\mu}_\nu = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma \beta & 0 & 0 \\ -\gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \beta = \frac{v}{c}, \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \] 逆矩阵\({a_\nu}^\mu\)： \[ {a_\nu}^\mu = (a^{-1})^\mu_\nu = \begin{pmatrix} \gamma & \gamma \beta & 0 & 0 \\ \gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] ...

在不同坐标下，发射光，都会有: \(x=ct\), 即： \(ct-x=0\) 伽利略变换下： \(x’ = x - vt, \quad t’ = t\),有： \(x’ = ct - vt = ct’ - vt’\),即： \(ct’-x’ = vt’\), 可见由于坐标系在移动，光速不变在伽利略变换下是不协变的。 使用变形的伽利略变换： \(x=x’+vt’, t=t’+vx’/c^2\), 时间进行了补偿，补充多余的vt’部分，有： \(ct - x = c ( t’ + \frac{v x’}{c^2} ) - (x’ + v t’) \) \(= c t’ + \frac{v x’}{c} - x’ - v t’\), \(= (c - v)t’ + ( \frac{v}{c} - 1 )x’\), 由\(ct-x=0\)，有： ...

我们根据\((ct)^2 =x^2 +y^2\)，两边同乘以波数\(k^2\)，有： \((ct)^2 k^2 =x^2 k^2 +y^2 k^2\), 即： \((wt)^2 =(kx)^2 +(yk)^2\) 令\(x =vt\), 则\(y=\sqrt{c^2-v^2} t\) 有: \((wt)^2 =(kvt)^2 +(k \sqrt{c^2-v^2} t)^2\) 即： \(w^2 =(kv)^2 +(k\sqrt{c^2-v^2} t)^2\) 两边同乘以\( \hbar^2 \): \( (\hbar w) ^2 =(\hbar k v)^2 + (\hbar k \sqrt{c^2-v^2} t)^2 \) 即： \( E^2 =(pv)^2 + (p \sqrt{c^2-v^2})^2 =(pc)^2 \)，得： \( E=pc\), \(p=\hbar k=mc\) 也就是粒子的总能量，是由动量 \(p_x =\frac{pv}{c}=mv\)和另一个动量 \(p_y =\frac{p}{\gamma}\)生成的， 所以用总动量代替原来得动量似乎更合理, 此时始终有 \(E=pc\) \(v=0\)时，\(E =m_0 c^2 =pc =\hbar k_0 c \)，有： ...

球对称波动方程是波动方程在球对称情况下的形式，通常用于描述在具有球对称结构的空间中传播的波，例如声波、电磁波或量子力学中的波函数。球对称意味着物理量只与时间 $ t $ 和径向距离 $ r $ 有关，而与角度方向 $ \theta, \phi $ 无关。 一、三维波动方程的一般形式 三维波动方程的一般形式为： $$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u $$ 其中： $ u(\mathbf{r}, t) $ 是波函数（可以是位移、压力、电场等）； $ c $ 是波速； $ \nabla^2 $ 是拉普拉斯算子。 二、球坐标系下的拉普拉斯算子 在球坐标系 $ (r, \theta, \phi) $ 中，拉普拉斯算子的形式为： $$ \nabla^2 u = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2 u}{\partial \phi^2} $$ ...

狭义相对论关联的内容，一个是： \((ct)^2-x^2=y^2+z^2\)， 如果上式有波动，波数为k， 则相位为\((ct-x)k =wt-kx\) 这个相位为什么是这个 关联的内容，另一个是电磁场， \( E^2 =(cB)^2+E_0^2\) 由麦克斯韦方程组推出类似的能量动能关系式： \(\nabla \cdot \mathbf{p} = 0\) \(\nabla \cdot E = \delta \rho_E\) \(\nabla \times E = -\gamma \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial t}\) \(\nabla \times \mathbf{p} = \alpha \mathbf{J}_\text{rest} + \beta \frac{\partial E}{\partial t}\)， 如何分析和利用上面的式子 另一个是质量动量等式: \( E^2 =(pc)^2 +E_0^2 \) 如何分析\(E_0^2=m_0 c^2\)的质量密度分布形式， 怎么把电磁辐射与康普顿散射的光子散射联系起来

泡利方程： \[ i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix} = \left[ \frac{1}{2m} \left( \mathbf{p} - q \mathbf{A} \right)^2 + q \phi + \mu_B \mathbf{B} \cdot \boldsymbol{\sigma} \right] \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix} \] 即： \[ \boxed{ \begin{aligned} i \hbar \frac{\partial \psi_1}{\partial t} &= \left[ \frac{1}{2m} \left( -i \hbar \nabla - q \mathbf{A} \right)^2 + q \phi \right] \psi_1 + \mu_B \left( B_z \psi_1 + (B_x - i B_y) \psi_2 \right), \\ i \hbar \frac{\partial \psi_2}{\partial t} &= \left[ \frac{1}{2m} \left( -i \hbar \nabla - q \mathbf{A} \right)^2 + q \phi \right] \psi_2 + \mu_B \left( (B_x + i B_y) \psi_1 - B_z \psi_2 \right). \end{aligned} } \] ...

从薛定谔方程： \(ih\partial_t \phi=\frac{p^2}{2m} \phi \) 使用\( p^2=(\sigma \cdot \mathbf{p})^2 \)，则变成狄拉克方程的形式： \(ih\partial_t \phi = \frac{(\mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{p})^2}{2m} \phi \) 当有磁场时，p增加了作用量，变成了： \( \mathbf{p}=\mathbf{p}-\frac{e}{c} \mathbf{A} \), 方程变成： \(ih\partial_t \phi = \frac{(\mathbf{\sigma} \cdot (\mathbf{p}-\frac{e}{c} \mathbf{A}))^2}{2m} \phi \) \( (\mathbf{\sigma} \cdot (\mathbf{p}-\frac{e}{c} \mathbf{A}))^2 =(\mathbf{p}-\frac{e}{c} \mathbf{A})^2 + i \mathbf{\sigma} \cdot ((\mathbf{p}-\frac{e}{c} \mathbf{A}) \times (\mathbf{p}-\frac{e}{c} \mathbf{A})) \) \( (\mathbf{p}- \mathbf{A}) \times (\mathbf{p}- \mathbf{A}) =\mathbf{p} \times \mathbf{A} + \mathbf{A} \times \mathbf{p} =-ih (\nabla \times A) =-ih \mathbf{B} \) ...

怎么根据狄拉克方程得出g=2 如何从狄拉克方程得出电子 \( g \)-因子为 2 电子的 \( g \)-因子（即朗德 \( g \)-因子）描述了其磁矩与自旋角动量的比值。在狄拉克理论中，\( g = 2 \) 是自然出现的结果，无需引入额外假设。以下是详细推导步骤： 1. 磁矩与 \( g \)-因子的定义 磁矩 \( \boldsymbol{\mu} \) 与自旋 \( \mathbf{S} \) 的关系为： \[ \boldsymbol{\mu} = g \left( \frac{e \hbar}{2 m c} \right) \mathbf{S} \] 其中： \( e \)：电子电荷， \( m \)：电子质量， \( \mathbf{S} = \frac{\hbar}{2} \boldsymbol{\sigma} \)（泡利矩阵表示自旋）， 经典预期：若电子是点电荷且无内禀自旋，\( g = 1 \)（类似轨道角动量）。 实验观测：电子 \( g \approx 2 \)，需理论解释。 2. 狄拉克方程的哈密顿量 从狄拉克方程出发，哈密顿量为： \[ H = c \boldsymbol{\alpha} \cdot \left( \mathbf{p} - \frac{e}{c} \mathbf{A} \right) + \beta m c^2 + e \phi \] 其中： ...

验证\nabla x B -\partial E /\partial t=0符合伽利略变换 要验证方程 \(\nabla \times \mathbf{B} - \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = 0\) 是否符合 伽利略变换（Galilean Transformation），我们需要考察电磁场 \(\mathbf{E}\) 和 \(\mathbf{B}\) 在伽利略变换下的行为，并检查方程的形式是否保持不变。 1. 伽利略变换回顾 伽利略变换描述了两个惯性参考系 \(S\) 和 \(S’\)（\(S’\) 以速度 \(\mathbf{u}\) 相对 \(S\) 运动）之间的坐标变换： \[ \begin{cases} \mathbf{r}’ = \mathbf{r} - \mathbf{u} t \\ t’ = t \end{cases} \] 相应的电磁场变换（非相对论极限）为： \[ \mathbf{E}’ = \mathbf{E} + \mathbf{u} \times \mathbf{B}, \quad \mathbf{B}’ = \mathbf{B} \] 2. 验证 \(\nabla \times \mathbf{B} - \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = 0\) 的协变性 我们需要证明在 \(S’\) 参考系中，方程形式是否仍为： \[ \nabla’ \times \mathbf{B}’ - \frac{\partial \mathbf{E}’}{\partial t’} = 0 \] ...

最小耦合原理（Minimal Coupling Principle） 最小耦合原理 是理论物理中描述场与物质相互作用的核心方法之一，尤其在电磁相互作用（量子电动力学，QED）中起着关键作用。它的核心思想是：在存在规范场（如电磁场）时，自由粒子的运动方程通过替换导数算符来引入相互作用，同时保持理论的规范不变性。 1. 最小耦合的数学表述 在经典或量子理论中，最小耦合通常表现为： 自由粒子的动量 \( p_\mu \) 替换为 正则动量： \[ p_\mu \rightarrow p_\mu - e A_\mu \] 其中： \( p_\mu \) 是自由粒子的四维动量（在量子力学中 \( p_\mu = i \partial_\mu \)）。 \( A_\mu = (\phi, \mathbf{A}) \) 是电磁四维势（标势 \(\phi\) 和矢势 \(\mathbf{A}\)）。 \( e \) 是粒子的电荷。 在量子力学中，这意味着 导数算符的替换： \[ \partial_\mu \rightarrow D_\mu = \partial_\mu + i e A_\mu \] 其中 \( D_\mu \) 称为 协变导数（covariant derivative），它保证了理论在局域 \( U(1) \) 规范变换下的不变性。 ...